Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，E為⊙O的半圓弧上一動點（不與A、B重合），過點E的直線分別交射線AM、BN于D、C兩點，且CB＝CE．

小題1:求證：CD為⊙O的切線
小題2:若tan∠BAC＝，求 的值

Answer 1

小題1:證明：連接OE．       …………………………………1分
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵BC＝EC，
∴∠CBE＝∠CEB．             ……………………………………………2分
∴∠OBC＝∠OEC．
∵BC為⊙O的切線，
∴∠OEC＝∠OBC＝90°，        ……………………………………………3分
∵OE為半徑，∴CD為⊙O的切線．……………………………………………4分
小題2:延長BE交AM于點G，連接AE，過點D作DT⊥BC于點T．
因為DA、DC、CB為⊙O的切線，
∴DA＝DE，CB＝CE．
在Rt△ABC中，因為tan∠BAC＝，令AB＝2x，則BC＝x．
∴CE＝BC＝x．                ……………………………………………5分
令AD＝DE＝a，
則在Rt△DTC中，CT＝CB－AD＝x－a，DC＝CE＋DE＝x＋a，DT＝AB＝2x，
∵DT²＝DC²－CT²，
∴(2x)²＝(x＋a)²－(x－a)²．  ……………………………………………6分
解之得，x＝a．               ……………………………………………7分
∵AB為直徑，
∴∠AEG＝90°．
∵AD＝ED，
∴AD＝ED＝DG＝a．
∴AG＝2a．                    ……………………………………………8分
因為AD、BC為⊙O的切線，AB為直徑，
∴AG∥BC．
所以△AHG∽△CHB．
∴＝＝．        ……………………………………………9分
∴＝1．                 ……………………………………………10分

切線的判定定理是圓中常考點，三角形相似是求三角形中線段長度的常用方法。