Question

（2010•吉林）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于點E．DF⊥BC于點F．AD=2cm，BC=6cm，AE=4cm．點P、Q分別在線段AE、DF上，順次連接B、P、Q、C，線段BP、PQ、QC、CB所圍成的封閉圖形記為M，若點P在線段AE上運動時，點Q也隨之在線段DF上運動，使圖形M的形狀發生改變，但面積始終為10cm²，設EP=xcm，FQ=ycm．解答下列問題：
（1）直接寫出當x=3時y的值；
（2）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當x取何值時，圖形M成為等腰梯形？圖形M成為三角形？
（4）直接寫出線段PQ在運動過程中所能掃過的區域的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰梯形的性質得：BE=EF=FC=2，在圖形中找到等量關系S_M=S_△BPE+S_△QFC+S_梯形QFEP，代入三角形面積公式、梯形面積公式以及已知條件解答即可；
（2）在圖形中找到等量關系S_M=S_△BPE+S_△QFC+S_梯形QFEP，代入三角形面積公式、梯形面積公式以及x、y的取值范圍解答即可；
（3）若圖形M為等腰梯形（如圖1），則EP=FQ，即x=-x+5，解得x=；若圖形M為等腰三角形，分兩種情形：
①當點P、Q、C在一條直線上時（如圖2），EP是△BPC的高；
②當點B、P、Q在一條直線上時（如圖3），FQ是△BQC的高；
可根據M的值及底邊BC的長，分別求出兩種情況下的x的值．
（4）通過畫圖可發現，線段PQ掃過的部分是兩個全等的三角形，且都是以x最小時AP的長為底，AD的長為高，在（2）中已經求得x的取值范圍為1≤x≤4，所以此時AP=AE-x_min=3，那么線段PQ掃過的面積即為：2S=2××3×1=3，由此得解．
解答：解：（1）由等腰梯形的性質得：BE=EF=FC=2，
∴S_M=S_△BPE+S_△QFC+S_梯形QFEP
=BE•xFC•y+•EF
=×2x+×2y+×2
=2（x+y），
把S_M=10，x=3代入上式，解得y=2．

（2）由等腰梯形的性質得：BE=EF=FC=2，
∵S_△BEP+S_梯形PEFQ+S_△FCQ=S_梯形M，
∴×2x+（x+y）×2+×2y=10，
∴y=-x+5，
由，得1≤x≤4．

（3）若圖形M為等腰梯形（如圖1），則EP=FQ，即x=-x+5，解得x=．
∴當x=時，圖形M為等腰梯形．
若圖形M為三角形，分兩種情形：
①當點P、Q、C在一條直線上時（如圖2），EP是△BPC的高，
∴BC•EP=10，即×6x=10，解得x=；
②當點B、P、Q在一條直線上時（如圖3），FQ是△BQC的高，
∴BC•FQ=10，即×6×（-x+5）=10，解得x=；
∴當x=或時，圖形M為三角形．

（4）線段PQ掃過的部分是兩個全等的三角形，且都是以x最小時AP的長為底，AD的長為高，在（2）中已經求得x的取值范圍為1≤x≤4，所以此時AP=AE-x_min=3，那么線段PQ掃過的面積即為：2S=2××3×1=3cm²；
評分說明：（4）中不寫單位不扣分，線段PQ在運動過程中所能掃過的區域為圖4中陰影部分
點評：本題主要考查了等腰梯形的性質、三角形的面積公式以及梯形的面積公式；在解決動點類問題時，一定要注意分類討論，以免漏解．