Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設銳角∠DOC＝α，將△DOC按逆時針方向旋轉得到△D′OC′（0°＜旋轉角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點M．

（1）當四邊形ABCD是矩形時，如圖1，請猜想AC′與BD′的數量關系以及∠AMB與α的大小關系，并證明你的猜想；

（2）當四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，已知AC＝kBD，請猜想此時AC′與BD′的數量關系以及∠AMB與α的大小關系，并證明你的猜想；

（3）當四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3，AD∥BC，此時（1）AC′與BD′的數量關系是否成立？∠AMB與α的大小關系是否成立？不必證明，直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1）BD′＝AC′，∠AMB＝α，見解析；（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，見解析；（3）AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立

【解析】

（1）通過證明△BOD′≌△AOC′得到BD′＝AC′，∠OBD′＝∠OAC′，根據三角形內角和定理求出∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α；

（2）依據（1）的思路證明△BOD′∽△AOC′，得到AC′＝kBD′，設BD′與OA相交于點N，由相似證得∠BNO＝∠ANM，再根據三角形內角和求出∠AMB＝α；

（3）先利用等腰梯形的性質OA=OD,OB=OC,再利用旋轉證得,由此證明△≌△，得到BD′＝AC′及對應角的等量關系，由此證得∠AMB＝α不成立．

解：（1）AC′＝BD′，∠AMB＝α，

證明：在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

又∵OD＝OD′，OC＝OC′，

∴OB＝OD′＝OA＝OC′，

∵∠D′OD＝∠C′OC，

∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，

∴∠BOD′＝∠AOC′，

∴△BOD′≌△AOC′，

∴BD′＝AC′，

∴∠OBD′＝∠OAC′，

設BD′與OA相交于點N，

∴∠BNO＝∠ANM，

∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，

即∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α，

綜上所述，BD′＝AC′，∠AMB＝α，

（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，

證明：∵在平行四邊形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，

又∵OD＝OD′，OC＝OC′，

∴OC′＝OA，OD′＝OB，

∵∠D′OD＝∠C′OC，

∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，

∴∠BOD′＝∠AOC′，

∴△BOD′∽△AOC′，

∴BD′：AC′＝OB：OA＝BD：AC，

∵AC＝kBD，

∴AC′＝kBD′，

∵△BOD′∽△AOC′，

設BD′與OA相交于點N，

∴∠BNO＝∠ANM，

∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝α，

綜上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α，

（3）∵在等腰梯形ABCD中，OA=OD,OB=OC,

由旋轉得： ,

∴,

即,

∴△≌△,

∴AC′＝BD′, ,

設BD′與OA相交于點N，

∵∠ANB=+∠AMB=,,

∴,

∴AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立．