Question

如圖（1），P為△ABC所在平面上一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P叫做△ABC的費馬點．
如圖（2），在銳角△ABC外側作等邊△ACB′連接BB′．
求證：BB′過△ABC的費馬點P，且BB′=PA+PB+PC．

Answer 1

證明：在BB′上取點P，使∠BPC=120°，
連接AP，再在PB′上截取PE=PC，連接CE，
∵∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE為正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°，
∵△ACB′為正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB′=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P為△ABC的費馬點，
∴BB′過△ABC的費馬點P，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．
分析：根據費馬點的定義，在BB′上取點P，使∠BPC=120°，再在PB′上取PE=PC，然后連接CE，根據等邊三角形的判定可以證明△PCE是等邊三角形，從而得到PC=CE，∠PCE=60°，根據角的關系可以推出∠PCA=∠ECB′，再利用邊角邊證明ACP與△B′CE全等，根據全等三角形對應邊相等可得PA=EB′，∠APC=∠CEB′=120°，從而可得點P為△ABC的費馬點，并且BB′=PA+PB+PC．
點評：本題考查了等邊三角形的性質與判定，全等三角形的判定與性質，根據新定義，作出輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．