Question

已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，E是直線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交⊙O于點F，直線CF交直線AB于點P．設⊙O的半徑為r．
（1）如圖1，當點E在直徑AB上時，試證明：OE•OP=r²；
（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結論是否成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ．由FQ是⊙O直徑得到∠QFD+∠Q=90°，又由CD⊥AB得到∠P+∠C=90°，然后利用已知條件即可得到∠QFD=∠P，然后即可證明△FOE∽△POF，最后利用相似三角形的性質即可解決問題；
（2）（1）中的結論成立． 如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM．由FM是⊙O直徑得到∠M+∠CFM=90°，又由CD⊥AB，得到∠E+∠D=90°，接著利用已知條件即可證明∠CFM=∠E，然后利用已知條件證明△POF∽△FOE，最后利用相似三角形的性質即可證明題目的結論．

解答：（1）證明：如圖1，連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ．
∵FQ是⊙O直徑，
∴∠FDQ=90°．
∴∠QFD+∠Q=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠C=90°．
∵∠Q=∠C，
∴∠QFD=∠P．
∵∠FOE=∠POF，
∴△FOE∽△POF．
∴

OE

OF

=

OF

OP

．
∴OE•OP=OF²=r²．

（2）解：（1）中的結論成立．
理由：如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM．
∵FM是⊙O直徑，
∴∠FCM=90°，
∴∠M+∠CFM=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠E+∠D=90°．
∵∠M=∠D，
∴∠CFM=∠E．
∵∠POF=∠FOE，
∴△POF∽△FOE．
∴

OP

OF

=

OF

OE

，
∴OE•OP=OF²=r²．

點評：此題分別考查了相似三角形的性質與判定、垂徑定理及圓周角定理，同時也考查了簡單的作圖問題，解題的關鍵是充分利用相似三角形的性質證明題目的結論．