Question

20．如圖，?ABCD對角線AC、BD相交于點O，E、F分別是OA、OC的中點；
（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）當OA=2OB時，?DEBF是矩形；
（3）當AB=AD時，?DEBF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出OB=OD，OA=OC，證出OE=OF，那么兩組對角線互相平分，得出四邊形DEBF是平行四邊形．
（2）證出對角線BD=EF，即可得出結論；
（3）證明四邊形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，即可得出結論．

解答 （1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵點E、F分別為OA、OC的中點，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA，OF=$\frac{1}{2}$OC，
∴OE=OF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
（2）解：當OA=2OB時，?DEBF是矩形；理由如下：
∵OB=OD，OA=OC，OA=2OB，OE=OF=$\frac{1}{2}$OA，
∴BD=EF，
∴?DEBF是矩形；
故答案為：矩；
（3）解：當AB=AD時，?DEBF是菱形；理由如下：
∵AB=AD，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，
∴?DEBF是菱形；
故答案為：菱．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質、菱形的判定與性質、矩形的判定；解題的關鍵是注意掌握兩組對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．