Question

如圖，用一塊長為50cm、寬為30cm的長方形鐵片制作一個無蓋的盒子，若在鐵片的四個角截去四個相同的小正方形，設小正方形的邊長為xcm．
（1）底面的長AB=______cm，寬BC=______cm（用含x的代數式表示）
（2）當做成盒子的底面積為300cm²時，求該盒子的容積．
（3）該盒子的側面積S是否存在最大的情況？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵用一塊長為50cm、寬為30cm的長方形鐵片制作一個無蓋的盒子，在鐵片的四個角截去四個相同的小正方形，
設小正方形的邊長為xcm，
∴底面的長AB=（50-2x）cm，寬BC=（30-2x）cm，
故答案為：50-2x，30-2x；

（2）依題意，得：
（50-2x）（30-2x）=300
整理，得：x²-40x+300=0
解得：x₁=10，x₂=30（不符合題意，舍去）
當x₁=10時，盒子容積=（50-20）（30-20）×10=3000（cm³）；

（3）盒子的側面積為：
S=2x（50-2x）+2x（30-2x）
=100x-4x²+60x-4x²
=-8x²+160x=-8（x²-20x）
=-8[（x-10）²-100]
=-8（x-10）²+800
∵-8（x-10）²≤0，
∴-8（x-10）²+800≤800，
∴當x=10時，S有最大值，最大值為800．
分析：（1）利用長方形的長與寬以及在鐵片的四個角截去四個相同的小正方形，得出AB與BC的長即可；
（2）利用（1）中長與寬以及盒子的底面積為300cm²時得出x的值，即可的求出盒子的容積；
（3）利用盒子側面積為：S=2x（50-2x）+2x（30-2x）進而利用配方法求出最值即可．
點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及二次函數的應用，想象出立體圖形的形狀進而表示出側面積是解題關鍵．