Question

【題目】如圖1和2，中，AB=3，BC=15，．點為延長線上一點，過點作切于點，設．

（1）如圖1，為何值時，圓心落在上？若此時交于點，直接指出PE與BC的位置關系；

（2）當時，如圖2，與交于點，求的度數，并通過計算比較弦與劣弧長度的大小；

（3）當與線段只有一個公共點時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當x=9時，圓心O落在AP上，PE⊥BC；（2）∠CAP=45°，弦AP的長度＞劣弧長度；（3）x≥18．

【解析】

（1）由三角函數定義知：Rt△PBC中，tan∠PBC=tan∠DAB，設CP=4k，BP=3k，由勾股定理可求得BC，根據“直徑所對的圓周角是直角”可得PE⊥AD，由此可得PE⊥BC；

（2）作CG⊥AB，運用勾股定理和三角函數可求CG和AG，再應用三角函數求∠CAP，應用弧長公式求劣弧長度，再比較它與AP長度的大小；

（3）當⊙O與線段AD只有一個公共點時，⊙O與AD相切于點A，或⊙O與線段DA的延長線相交于另一點，此時，BP有最小值，即x≥18．

（1）如圖1，AP經過圓心O．

∵CP與⊙O相切于P，∴∠APC=90°．

∵ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，設CP=4k，BP=3k，由CP2+BP2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BP=3×3=9，故當x=9時，圓心O落在AP上；

∵AP是⊙O的直徑，∴∠AEP=90°，∴PE⊥AD．

∵ABCD，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．

（2）如圖2，過點C作CG⊥AP于G．

∵ABCD，∴BC∥AD，∴∠CBG=∠DAB，∴tan∠CBG=tan∠DAB，設CG=4m，BG=3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2=152，解得：m=3，∴CG=4×3=12，BG=3×3=9，PG=BG﹣BP=9﹣4=5，AP=AB+BP=3+4=7，∴AG=AB+BG=3+9=12，∴tan∠CAP1，∴∠CAP=45°；

連接OP，OQ，過點O作OH⊥AP于H，則∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°，PHAP．

在Rt△CPG中，13．

∵CP是⊙O的切線，∴∠OPC=∠OHP=90°，∠OPH+∠CPG=90°，∠PCG+∠CPG=90°，∴∠OPH=∠PCG，∴△OPH∽△PCG，∴，即PH×CP=CG×OP，13=12OP，∴OP，∴劣弧長度．

∵2π＜7，∴弦AP的長度＞劣弧長度．

（3）當⊙O與線段AD只有一個公共點時，⊙O與AD相切于點A，或⊙O與線段DA的延長線相交于另一點，此時圓心O位于直線AB下方，且∠OAD≥90°，當∠OAD=90°，∠CPM=∠DAB時，即⊙O與DA切于點A時，BP取得最小值，如圖3，過點C作CM⊥AB于M．

∵∠DAB=∠CBP，∴∠CPM=∠CBP，∴CB=CP．

∵ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，設CM=4k，BM=3k，由CM2+BM2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BM=3×3=9．

∵CM⊥AB，∴BP=2BM=2×9=18，∴x≥18．