Question

【題目】如圖，在以點為中心的正方形中，，連接，動點從點出發沿以每秒1個單位長度的速度勻速運動，到達點停止．在運動過程中，的外接圓交于點，連接交于點，連接，將沿翻折，得到．

(1)求證：是等腰直角三角形；

(2)當點恰好落在線段上時，求的長；

(3)設點運動的時間為秒，的面積為，求關于時間的關系式．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)EH；(3).

【解析】

(1)由正方形的性質可得，再根據圓周角定理即可證得結論；

(2)設，連接，通過證明可得，再證明可得與t的關系式，進一步可表示的長，由得比例線段，進而求出的值，然后代入的表達式可求的值；

(3)由(2)知與t的關系式，再過點作于點，易證，于是，再根據三角形的面積公式即可求解．

(1)證明：∵四邊形是正方形，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

(2)設，連接，如圖，則，

∵，∴，

∴，∴，

又∵，，∴，

∴，∴，

又∵，∴，

∴，

當點恰好落在線段上時，，

∴，∴，

∵，∴，

∴，

∵FG=FH，∴，

解得：，(舍去)，

∴；

(3)過點作于點，由(2)得，

∵，，∴，

∴，

∴，

∴．