Question

如圖，△ABC內接于⊙O，其外角平分線AD交⊙O于D，DM⊥AC于M，下列結論：其中正確的有（ ）
①DB=DC；②AC-AB=2AM；③AC+AB=2CM；④S_△ABD=2S_△CDB．

A．只有④②
B．只有①②③
C．只有③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：由A、B、C、D四點共圓，可得∠FAD=∠BCD，由同弧所對的圓周角相等得到圓周角相等，結合外角平分線可得∠BCD=∠CBD，可得BD=CD；過點D作DF⊥BE，可以通過證明三角形全等，通過邊的關系可以得到②AC-AB=2AM，③AC+AB=2CM都是正確的；而沒有理由證明④是正確的．
解答：解：過點D作DF⊥BE，
∵A、B、C、D四點共圓，
∴∠FAD=∠BCD，
∵外角平分線AD交⊙O于D，
∴∠FAD=∠DAC，
又∠DBC=∠DAC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴①DB=DC，是正確的；
∵AD外角平分線，DF⊥BE，DM⊥AC于M，
∴DF=DM，
又∠DFA=∠DMC=90°，∠ABD=∠ACD，
∴Rt△BFD≌Rt△CMD，
∴BF=CM，
又AF=AM，
∴②AC-AB=CM+AM-AB=CM+AM-CM+AF=CM+AM-CM+AM=2AM，正確；
∴③AC+AB=AM+MC+BF-FA=AM+MC+MC-AM=2CM，正確；
無法證明④是正確的．
故選B．
點評：本題考查了圓周角、三角形的外角的性質及全等三角形的判定與性質；作出輔助線，利用三角形全等是正確解答本題的關鍵．