Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，弦AD交BC于點E，AE=4，ED=5，
（1）求證：AD平分∠BDC；
（2）求AC的長；
（3）若∠BCD的平分線CI與AD相交于點I，求證：AI=AC．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知AB=AC，則；由同弧所對的圓周角相等，即可證得所求的結論；
（2）根據（1）得出的相等弧，可知∠ACE=∠CDA，易證得△ACE∽△ADC，可得出關于AC、AE、AD的比例關系式，由此可求出AC的長；
（3）求AI=AC，可證∠AIC=∠ACI；由三角形外角的性質知：∠AIC=∠ICD+∠ADC；而∠ACI=∠ACE+∠ICE；觀察兩個式子，發現∠ICB和∠ICD是由角平分線所分得的兩個等角，∠ACE和∠ADC是同弧所對的圓周角，由此可得出∠ACI=∠AIC，即可證得AI=AC．
解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴；
∴AD平分∠BDC；

解：（2）∵∠ACB=∠ADB，∠CDA=∠ADB，
∴∠CDA=∠ACB；
∵∠CAE=∠DAC，
∴△ACE∽△ADC；
∴，即；
∴AC=6；

證明：（3）∠AIC=∠ADC+∠DCI，∠ACI=∠BCI+∠ACB；
∴∠AIC=∠ACI；
∴AI=AC．
點評：此題主要考查了圓周角定理以及相似三角形的判定和性質．