Question

4．如圖，已知一次函數y=$\frac{1}{2}x+1$的圖象與x軸交于A點，與y軸交于B點：拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+c$的圖象與一次函數y=$\frac{1}{2}x+1$的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點，且點D的坐標為（1，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）求該拋物線的解析式；
（3）求四邊形BDEC的面積S；
（4）在x軸上是否存在點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在一次函數y=$\frac{1}{2}x+1$中，令x=0，即可求出點B的坐標；
（2）將點B、D的坐標代入二次函數解析式，求出b、c的值，即可求出二次函數的解析式；
（3）兩解析式聯立方程求得B、C的坐標，令y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1=0，求得D、E的坐標，然后根據梯形和三角形的面積公式求得即可；
（4）設P（x，0），求得PB²=x²+1，PC²=（x-4）²+9，BC²=4²+（3-1）²=20，然后分三種情況分別討論求得即可．

解答 解：（1）∵一次函數y=$\frac{1}{2}x+1$與y軸的交點為B，
令x=0，可得y=1，
∴B（0，1）；
（2）將B（0，1），D（1，0）的坐標代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{2}+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1；
（3）∵二次函數的圖象與一次函數的圖象交于B、C兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴C（4，3），
解$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1=0，得x=1和x=2，
∴D（1，0），E（2，0），
∴S=$\frac{1}{2}$（1+3）×4-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$（4-2）×3=4.5；
（4）設P（x，0），
∵B（0，1），C（4，3），
∴PB²=x²+1，PC²=（x-4）²+9，BC²=4²+（3-1）²=20，
①當∠PBC=90°時，則PB²+BC²=PC²，
即x²+1+20=（x-4）²+9，
解得x=$\frac{1}{2}$，
∴P₁（$\frac{1}{2}$，0）；
②當∠PCB=90°時，則PC²+BC²=PB²，
即x²+1=（x-4）²+9+20，
解得x=$\frac{11}{2}$，
∴P₂（$\frac{11}{2}$，0）；
③當∠BPC=90°時，則PB²+PC²=BC²，
即x²+1+（x-4）²+9=20，
解得x=1或x=3，
∴P₃（1，0），P₄（3，0）；
∴在x軸上存在點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形是直角三角形，點P的坐標為（$\frac{1}{2}$，0）或（$\frac{11}{2}$，0）或（1，0）或（3，0）．

點評 本題是二次函數的綜合題，涉及了利用待定系數法求二次函數的解析式、函數圖象交點坐標、四邊形的面積以及勾股定理的應用等知識，難度適中．