Question

如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)處，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．

（1）當(dāng)PE⊥AB，PF⊥BC時(shí)，如圖1，則的值為 ；

（2）現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）角，如圖2，求的值；

Answer 1

見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)PE⊥AB，PF⊥BC時(shí)，四邊形PEBF是矩形，所以PF=BE,因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，所以AE=BE=PF,又∠APE=∠ACB=30°，可得PE=AE,所以;（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，可證△PME∽△PNF．然后可得．

試題解析：（1）．

（2）如答圖1，

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，則PM⊥PN．

∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN．

又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF．

∴．

由（1）知，，

∴．

考點(diǎn)：1．矩形的性質(zhì)；2．解直角三角形；3．相似三角形的判定與性質(zhì)．