Question

設二次函數y=ax²+bx+c（a＞0，c＞1），當x=c時，y=0；當0＜x＜c時，y＞0．
（1）請比較ac和1的大小，并說明理由；
（2）當x＞0時，求證：

a

x+2

+

b

x+1

+

c

x

＞0．

Answer 1

分析：（1）由條件x=c時，y=0，代入可得ac+b+1=0，即b=-ac-1，根據0＜x＜c時，y＞0，而拋物線開口向上，可知對稱軸x=-

b

2a

≥c，將b代入解不等式即可；
（2）將所證不等式左邊通分，再根據題目的條件，證明每一個部分大于0即可．

解答：（1）解：當x=c時，y=0，即ac²+bc+c=0，c（ac+b+1）=0，
又c＞1，所以ac+b+1=0
又因為當0＜x＜c時，y＞0，x=c時，y=0，
于是二次函數y=ax²+bx+c的對稱軸：x=-

b

2a

≥c即b≤-2ac
所以b=-ac-1≤-2ac即ac≤1；
（2）證明：因為0＜x=1＜c時，y＞0，所以a+b+c＞0
由ac≤1及a＞0，c＞1得：0＜a＜1
因為

a

x+2

+

b

x+1

+

c

x

=

(a+b+c)x2+(a+2b+3c)x+2c

x(x+1)(x+2)

=

(a+b+c)x2+(a-2ac-2+3c)x+2c

x(x+1)(x+2)

而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a-2ac-2+3c=（1-a）（2c-1）+（c-1）＞0
所以當x＞0時，

(a+b+c)x2+(a-2ac+3c-2)x+2c

x(x+1)(x+2)

＞0，
即

a

x+2

+

b

x+1

+

c

x

＞0．

點評：本題考查了二次函數的圖象性質，圖象上的點與解析式的關系，對稱軸公式的運用，證明不等式的問題，具有一定的綜合性．