Question

如圖，在直角坐標系中，O為原點．點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，tan∠OAB=2．二次函數y=ax²+bx+2的圖象經過點A、B，頂點為D，對稱軸為x=3．
（1）求這個二次函數的解析；
（2）設二次函數y=ax²+bx+2的圖象與x軸交另一點C，則二次函數圖象上是否存在點P（m，n）（其中1＜m＜5）使四邊形PABC的面積最大？若存在，求出點P的坐標和四邊形PABC面積最大值；若不存在，請說明理由；
（3）已知Q為x軸上一點（異與A點），當以Q，B，O三點為頂點的三角形與△OAB相似時，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式可得出C（0，2），即OB=2，在直角三角形OAB中，根據OB的長和∠OAB的正切值，即可求出OA的長，然后將A點坐標和對稱軸解析式代入拋物線中即可求出待定系數的值．
（2）先根據拋物線的解析式求出C點坐標，由于△ABC的面積為定值，因此△PAC的面積最大時，四邊形PABC的面積最大，此時P點為拋物線的頂點，據此可求出P的坐標和四邊形的面積．
（3）本題要分兩種情況進行討論：
①△QBO∽△ABO，此時兩三角形全等，OQ=OA=1，由此可得出Q點的坐標．
②△QBO∽△BAO，可得出

OB

OA

=

OQ

OB

，由此可求出OQ的長，即可得出Q點的坐標．

解答：解：（1）由題意，點B的坐標是（0，2）
∴OB=2
∵tan∠OAB=

OB

OA

=2，
∴OA=1，點A（1，0）
∴0=a+b+2，b=-6a；
∴a=0.4，b=-2.4
∴所求解析式是y=0.4x²-2.4x+2；

（2）由（1）題得：頂點D（3，-1.6），點C（5，0）
∴S_△ABC=4，
∴當△PAC面積最大時，四邊形PABC的面積取最大值；
∵S_△PAC不大于S_△DAC，
∴當P（3，-1.6）時，四邊形PABC的面積取最大值7.2；

（3）當以Q，B，O三點為頂點的三角形與△OAB相似時
需滿足：

OB

OB

=

OQ

OA

或

OB

OA

=

OQ

OB

當

OB

OB

=

OQ

OA

時，OQ=OA=1，
∴Q（-1，0）或Q（1，0）（舍去）
當

OB

OA

=

OQ

OB

時，OQ=4，
∴Q（-4，0）或Q（4，0）
綜上：∴Q（-1，0）或Q（-4，0）或Q（4，0）．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、相似三角形的判定和性質等知識點．（3）題在不確定相似三角形的對應角和對應邊的情況下要分類進行求解，不要漏解．