Question

設二次函數y=ax²+bx+c（a＞0，b＞0）的圖象經過（0，y₁）、（1，y₂）和（-1，y₃）三點，且滿足y₁²=y₂²=y₃²=1．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）設這個二次函數的圖象與x軸的兩個交點為A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，C為頂點，連接AC、BC，動點P從A點出發沿折線ACB運動，求△ABP的面積的最大值；
（3）當點P在折線ACB上運動時，是否存在點P使△APB的外接圓的圓心在x軸上？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將三點坐標代入拋物線的解析式中，根據y₁²=y₂²=y₃²=1．即可得出a、b、c的值．也就可求出拋物線的解析式．
（2）很顯然當△APB面積最大時其實就是P運動到C點時，可根據拋物線的解析式求出拋物線頂點坐標和A、B的坐標，進而可根據AB的長和頂點C的縱坐標的絕對值求出S的值．
（3）根據圓周角定理可知：當△APB的外接圓的圓心在x軸上時，∠APB=90°，因此只需看∠ACB是否大于90°即可，如果∠ACB＞90°，則說明不存在這樣的P點，如果∠ACB=90°，那么此時P點與C重合，如果∠ACB＜90°，則一定存在這樣的P點，使得△APB的外接圓的圓心在x軸上．

解答：解：（1）由已知得：（a+b+c）²=（a-b+c）²=c²=1，
圖象經過y軸負半軸，則c=-1，
∴

a+b-1=a-b-1 a+b-1=-a+b+1

，
解得；a=1，b=1，c=-1．
因此拋物線的解析式為y=x²+x-1．

（2）拋物線的頂點為（-

1

2

，-

5

4

）．
當動點P從A點出發沿折線ACB運動至頂點C時，△ABP的面積的最大，
易知：A、B的坐標為：（-

1+ 5

2

，0 ），（

5 -1

2

，0）．
因此AB=

5

．
因此S=

1

2

×

5

×

5

4

=

5 5

8

．

（3）設拋物線的對稱軸與x軸的交點為D，
因此AD=BD=

5

2

，CD=

5

4

．
在直角三角形ADC中，tan∠DAC=

CD

AD

=

5

2

＞1．
因此∠DAC＞45°，
由AC=BC，可得∠ACB＜90°
∴△ABC是銳角三角形，
∴在折線ACB上一定存在點P使得∠APB=90°，即存在點P使得△APB的外接圓的圓心在x軸上．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、圓周角定理、解直角三角形等知識點．