Question

如圖，PA切⊙O于A，PBC過圓心O，交⊙O于B、C，CD⊥PA于D，交⊙O于點E．
（1）求證：CA平分∠BCD．
（2）若DC=6，AC=4，求⊙O的半徑．
（3）作AG⊥BC于G，連接AB、DG，判斷AB與DG的位置關系，并證明．

Answer 1

（1）證明：連接OA，
∵PD切⊙O于A，
∴OA⊥PD，
∵CD⊥PD，
∴∠PAO=∠PDC=90°，
∴OA∥CD，
∴∠OAC=∠ACD，
在⊙O中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACD=∠OCA，
∴CA平分∠BCD；
（2）連接BA，
在⊙O中，BC為直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠PDC，
∵∠ACO=∠ACD，
∴△BCA∽△ACD，
∴=，
∴AC²=BC•DC，即（4）²=6BC，
∴BC=8，
∴⊙O的半徑為4；
（3）AB∥DG，理由為：
證明：∵AG⊥BC，
∴∠AGC=∠ADC=90°，
在△ACG和△ACD中，
，
∴△ACG≌△ACD（AAS），
∴AG=AD，∠GAC=∠DAC，
∴AC⊥GD，
∵BA⊥AC，
∴∠BAC=∠GMC=90°，
∴AB∥DG．
分析：（1）連接OA，由PD為圓的切線，利用切線的性質得到PD與OA垂直，再由CD與PD垂直，確定出OA與CD平行，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，再由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，即CA為角平分線；
（2）連接AB，由CA為角平分線，得到一對角相等，再由BC為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到一對直角相等，利用兩對角相等的兩三角形相似得到三角形ABC與三角形ACD相似，由相似得比例，將DC與AC的值代入計算即可求出BC的長，進而確定出圓的半徑；
（3）AB與DG平行，理由為：過A作AG垂直于BC，連接DG，由CA為角平分線得到一對角相等，再由一對直角相等，AC為公共邊，利用AAS得到三角形ACD與三角形ACG全等，利用全等三角形對應邊相等得到AD=AG，AC為角平分線，利用三線合一得到AC與DG垂直，再由BA與AC垂直，得到一對直角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得到AB與DG平行．
點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．