Question

18．已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為邊AB的中點，∠EDF=90°，∠EDF繞點D旋轉，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于點E、F．
（1）當∠EDF繞點D旋轉到DE⊥AC于點E時（如圖（1）），易證S_△DEF+S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
（2）當∠EDF繞點D旋轉到DE和AC不垂直時，在圖（2）和圖（3）這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予說明；若不成立，S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需說明．

Answer 1

分析 （1）先證明△CDE≌△BDF，即可得出結論；
（2）不成立；同（1）得：△DEC≌△DBF，得出S_△DEF=S_{五邊形DBFEC}=S_△CFE+S_△DBC=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC．

解答 解：（1）連接CD；如圖2所示：
∵AC=BC，∠ACB=90°，D為AB中點，
∴∠B=45°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠1=∠2，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CD=BD}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S_△DEF+S_△CEF=S_△ADE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
（2）上述結論不成立；S_△DEF-S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；理由如下：
連接CD，如圖3所示：
同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°
∴S_△DEF=S_{五邊形DBFEC}，
=S_△CFE+S_△DBC，
=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△DEF-S_△CFE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
∴S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC的關系是：S_△DEF-S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、圖形面積的求法；證明三角形全等是解決問題的關鍵．