Question

已知二次函數的圖象與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），且與直線y=kx-4交y軸于點C． 
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）如果直線y=kx-4經過二次函數的頂點D，且與x軸交于點E，△AEC的面積與△BCD的面積是否相等？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由；
（3）求sin∠ACB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出直線y=kx-4與y軸的交點C的坐標，再設經過點A（-1，0）和點B（3，0）的二次函數的解析式為y=a（x+1）（x-3），然后將C點坐標代入，運用待定系數法即可求出這個二次函數的解析式為y=x²-x-4；
（2）先利用配方法求出二次函數y=x²-x-4的頂點D的坐標，再將D點坐標代入y=kx-4，求出k的值，得到直線CD的解析式，再求出CD與x軸交點E的坐標，根據三角形面積公式可得△AEC的面積=AE•OC=4；設直線BC與拋物線的對稱軸交于點F，運用待定系數法求出直線BC的解析式，令x=1，求出y的值，得到F點坐標及DF的長度，根據三角形面積公式可得△BCD的面積=DF•OB=4，從而得出△AEC的面積與△BCD的面積相等；
（3）過點A作AG⊥BC于G，易得AB=4，OC=4，運用勾股定理求出BC=5，AC=，根據三角形面積公式得出△ABC的面積=AB•OC=BC•AG，則AG==，在Rt△ACG中根據三角函數的定義即可求出sin∠ACB的值．
解答：解：（1）∵y=kx-4，
∴當x=0時，y=-4，即C點坐標為（0，-4）．
設經過點A（-1，0）和點B（3，0）的二次函數的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將C（0，-4）代入，得-4=-3a，
解得a=，
∴這個二次函數的解析式為y=（x+1）（x-3），即y=x²-x-4；

（2）△AEC的面積與△BCD的面積相等，理由如下：
∵y=x²-x-4=（x-1）²-，
∴對稱軸為直線x=1，頂點D的坐標為（1，-）．
將D（1，-）代入y=kx-4，
得-=k-4，解得k=-，
∴y=-x-4，
當y=0時，-x-4=0，解得x=-3，
∴E點坐標為（-3，0），AE=2，
∴△AEC的面積=AE•OC=×2×4=4．
設直線BC與拋物線的對稱軸交于點F，如圖，
易求直線BC的解析式為y=x-4，
當x=1時，y=×1-4=-，
∴F點坐標為（1，-），DF=--（-）=，
∴△BCD的面積=DF•OB=××3=4，
∴△AEC的面積與△BCD的面積相等；

（3）如圖，過點A作AG⊥BC于G．
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-4），
∴AB=4，OC=4，BC==5，AC==．
∵△ABC的面積=AB•OC=BC•AG，
∴AG==，
∴sin∠ACB===．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，拋物線的頂點坐標，三角形的面積，勾股定理，銳角三角函數的定義，綜合性較強，難度適中．