Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，BD和CD為⊙O的切線，切點分別為B和C．

（1）求證：AC∥OD；

（2）當BC=BD，且BD=6cm時，求圖中陰影部分的面積（結果不取近似值）．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)( 4π﹣3)cm2．

【解析】分析：（1）連接OC，證明∠OCD=90°．根據切線定理得DC=DB，OB⊥BD，OC⊥CD，證得△OCD≌△OBD，再結合AB為直徑，AC⊥BC，可得∠ACO=∠COM，從而得證；
（2）陰影面積=S扇形OBC-S△OBC．根據切線長定理知△BCD為等邊三角形，可求∠BOC的度數，運用相關公式計算．

詳解：

（1）證明：連接OC．

∵BD和CD為⊙O的切線，

∴DC=DB，OB⊥BD，OC⊥CD，

又OB=OC，

∴△OCD≌△OBD，

∴∠COM=∠BOM，從而易得BC⊥OD，

∵AB為直徑，

∴AC⊥BC，

∴∠ACO+∠OCM=∠COM+∠OCM=90°，

∴∠ACO=∠COM，

∴AC∥OD.

（2）∵DB，DC為切線，B，C為切點，

∴DB=DC．

又∵DB=BC=6，∴△BCD為等邊三角形．

∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，

∠OBM=90°﹣60°=30°，BM=3．

∴OM=，OB=2．

∴S陰影部分=S扇形OBC﹣S△OBC＝