Question

如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)E（x，y）運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？

（3）是否存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求E點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)所求拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)，則由題意可得：

，解得．

∴所求拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²﹣4x+．

（2）∵點(diǎn)E（x，y）是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸下方，

∴y＜0，

即﹣y＞0，﹣y表示點(diǎn)E到OA的距離．

∵OB是平行四邊形OEBF的對(duì)角線(xiàn)，

∴S=2S_△OBE=2××OB•|y|=﹣5y=﹣5（x²﹣4x+）=﹣x²+20x﹣，

∵S=﹣（x﹣3）²+

∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣x²+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值為．

（3）∵當(dāng)OB⊥EF，且OB=EF時(shí)，平行四邊形OEBF是正方形，

∴此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)只能（，﹣），而坐標(biāo)為（，﹣）點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，

∴存在點(diǎn)E（，﹣），使平行四邊形OEBF為正方形，

此時(shí)點(diǎn)F坐標(biāo)為（，）．