Question

（2002•包頭）如圖，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于C、D，以OD為直徑作⊙A交CD于F，FA的延長線交⊙A于E，交x軸于B．
（1）設F（a，b），求以a，b為根的一元二次方程；
（2）求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線FO和FH，根據直徑所對的圓周角是90度，構造出直角三角形OFC，利用勾股定理求出a，b的值；
（2）利用相似三角形的性質，根據相似比來求．
解答：解：（1）過F作EH⊥BC，H為垂足，連接OF，由直線方程得，OD=4，OC=8，CD=4，
∵∠OFD為直徑OD所對圓周角，
∴OF⊥DC，OF==，
在Rt△OFC中，FC==，FH==，OH==，
∴a=，b=，
∴所求方程為x²-x+=0；

（2）∵在Rt△BAO和Rt△BFH中，∠B為公共角，
∴Rt△BAO∽Rt△BFH，
∴=，==，
∴BE=．
點評：此題結合了圓的相關定理和勾股定理以及根據方程的根構造一元二次方程，綜合性較強且難度適中，是一道好題．