Question

【題目】[問題]小明在學習時遇到這樣一個問題：求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集．

他經歷了如下思考過程：

[回顧]

（1）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線y1＝ax+b與雙曲線y2＝交于A （1，3）和B（﹣3，﹣1），則不等式ax+b＞的解集是　 　．

[探究]將不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0按條件進行轉化：

當x＝0時，原不等式不成立；

當x＞0時，不等式兩邊同除以x并移項轉化為x2+3x﹣1＞；

當x＜0時，不等式兩邊同除以x并移項轉化為x2+3x﹣1＜．

（2）構造函數，畫出圖象：

設y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐標系中分別畫出這兩個函數的圖象；

雙曲線y4＝如圖2所示，請在此坐標系中畫出拋物線y＝x2+3x﹣1．（不用列表）

（3）確定兩個函數圖象公共點的橫坐標：

觀察所畫兩個函數的圖象，猜想并通過代入函數解析式驗證可知：滿足y3＝y4的所有x的值為　 　．

[解決]

（4）借助圖象，寫出解集：

結合“探究”中的討論，觀察兩個函數的圖象可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集為　 　．

Answer 1

【答案】（1）x＞1或﹣3＜x＜0；（2）詳見解析；（3）﹣3或﹣1或1；（4）x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．

【解析】

（1）根據一次函數與反比例函數圖像位置關系直接觀察出不等式解集．

（2）找出該函數上的關鍵點，在圖表中描點連線即可．

（3）由圖像觀察即可得出交點的橫坐標，即為原方程的解．

（4）根據（3）小問的方法，將原式轉化為x2+3x﹣1＞，作圖找交點即可（注意討論x與0的大小關系）．

解：（1）如圖1中，觀察圖形可知：不等式ax+b＞的解集為x＞1或﹣3＜x＜0．

故答案為：x＞1或﹣3＜x＜0．

（2）函數y3＝x2+3x﹣1的圖形如圖所示：

（3）觀察圖象可知，兩個函數圖象的公共點的橫坐標為﹣3，﹣1，1．

經過檢驗可知：點（﹣3，﹣1），點（﹣1，﹣3），點（1，3）是兩個函數的交點坐標，

滿足y3＝y4的所有x的值為﹣3或﹣1或1．

故答案為﹣3或﹣1或1．

（4）觀察圖象，當x＞0時，不等式兩邊同除以x并移項轉化為x2+3x﹣1＞的解集為x＞1，

當x＜0時，不等式兩邊同除以x并移項轉化為x2+3x﹣1＜的解集為x＜﹣3或﹣1＜x＜0，

∴不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集為x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．

故答案為x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．