Question

如圖，已知在等腰Rt△BCD中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點F，延長BD到A，使DA=DF，延長BF交AC于E，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G
（1）試說明：△FBD≌△ACD；
（2）試說明：△ABC是等腰三角形；
（3）試說明：CE=BF；
（4）求BG：GE的值（直接寫出答案）．

Answer 1

證明：（1）在等腰Rt△BCD中，BD=CD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，
，
∴△FBD≌△ACD（SAS）；

（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠A=90°，
∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形；

（3）∵△FBD≌△ACD，
∴BF=AC，
∵△ABE≌△CBE，
∴AE=CE=AC，
∴CE=BF；

（4）連接CG，∵在等腰Rt△BCD中，H是BC邊的中點，
∴DH垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴∠GBC=∠GCB，
∴∠EGC=∠GBC+∠GCB=2∠GBC=45°，
∴△EGC是等腰直角三角形，
∴CG=GE，
即BG=CE，
∴BG：GE=．
分析：（1）根據等腰直角三角形的直角邊相等可得BD=CD，再利用“邊角邊”證明△FBD和△ACD全等即可；
（2）根據全等三角形對應角相等可得∠DBF=∠DCA，再根據∠DAC+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利用“角邊角”證明△ABE和△CBE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=CB，從而得證；
（3）根據全等三角形對應邊相等可得BF=AC，AE=CE，然后求出CE=BF；
（4）連接CG，根據等腰直角三角形的性質可得DH垂直平分BC，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得BG=CG，根據等邊對等角可得∠GBC=∠GCB，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠EGC=2∠GBC=45°，然后求出△EGC是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍解答．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等角對等邊的性質，等邊對等角的性質，綜合題但難度不大，熟記各性質是解題的關鍵，（4）作輔助線構造出等腰直角三角形是解題的關鍵．