Question

設點P是△ABC內任意一點．現給出如下結論：

①過點P至少存在一條直線將△ABC分成周長相等的兩部分；

②過點P至少存在一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分；

③過點P至多存在一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分；

④△ABC內存在點Q，過點Q有兩條直線將其平分成面積相等的四個部分．

其中結論正確的是　  　．（寫出所有正確結論的序號）

 

Answer 1

【答案】

①②④

【解析】

試題分析：結論①正確。理由如下：

如答圖1所示，設點P為△ABC內部的任意一點，經過點P的直線l將△ABC分割后，兩側圖形的周長分別為C₁，C₂（C₁，C₂中不含線段DE），

在直線l繞點P連續的旋轉過程中，周長由C₁＜C₂（或C₁＞C₂）的情形，逐漸變為C₁＞C₂（或C₁＜C₂）的情形，在此過程中，一定存在C₁=C₂的時刻，因此經過點P至少存在一條直線平分△ABC的周長。故結論①正確。

結論②正確。理由如下：

如答圖1所示，

設點P為△ABC內部的任意一點，經過點P的直線l將△ABC分割后，兩側圖形的面積分別為S₁，S₂，

在直線l繞點P連續的旋轉過程中，面積由S₁＜S₂（或S₁＞S₂）的情形，逐漸變為S₁＞S₂（或S₁＜S₂）的情形，在此過程中，一定存在S₁=S₂的時刻，因此經過點P至少存在一條直線平分△ABC的面積。故結論②正確。

結論③錯誤。理由如下：

如答圖2所示，

AD、BE、CF為三邊的中線，則AD、BE、CF分別平分△ABC的面積，而三條中線交于重心G，則經過重心G至少有三條直線可以平分△ABC的面積。故結論③錯誤。

結論④正確。理由如下：

如答圖3所示，

AD為△ABC的中線，點M、N分別在邊AB、AC上，MN∥BC，且，MN與AD交于點Q。

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC。

∴，即MN平分△ABC的面積。

又∵AD為中線，

∴過點Q的兩條直線AD、MN將△ABC的面積四等分。故結論④正確。

綜上所述，正確的結論是：①②④。