Question

（2013•南平）設點P是△ABC內任意一點．現給出如下結論：
①過點P至少存在一條直線將△ABC分成周長相等的兩部分；
②過點P至少存在一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分；
③過點P至多存在一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分；
④△ABC內存在點Q，過點Q有兩條直線將其平分成面積相等的四個部分．
其中結論正確的是

①②④

．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：對于結論①②，根據圖形周長、面積的連續性變化，判定其為真命題；
對于結論③，舉出反例判定其為假命題；
對于結論④，構造一個滿足條件的點Q出來，判定其為真命題．

解答：解：結論①正確．理由如下：
如答圖1所示，設點P為△ABC內部的任意一點，經過點P的直線l將△ABC分割后，兩側圖形的周長分別為C₁，C₂（C₁，C₂中不含線段DE）．

在直線l繞點P連續的旋轉過程中，周長由C₁＜C₂（或C₁＞C₂）的情形，逐漸變為C₁＞C₂（或C₁＜C₂）的情形．在此過程中，一定存在C₁=C₂的時刻．因此經過點P至少存在一條直線平分△ABC的周長．故結論①正確；
結論②正確．理由如下：
如答圖1所示，設點P為△ABC內部的任意一點，經過點P的直線l將△ABC分割后，兩側圖形的面積分別為S₁，S₂．
在直線l繞點P連續的旋轉過程中，面積由S₁＜S₂（或S₁＞S₂）的情形，逐漸變為S₁＞S₂（或S₁＜S₂）的情形．在此過程中，一定存在S₁=S₂的時刻．因此經過點P至少存在一條直線平分△ABC的面積．故結論②正確；
結論③錯誤．理由如下：

如答圖2所示，AD、BE、CF為三邊的中線，則AD、BE、CF分別平分△ABC的面積，而三條中線交于重心G，則經過重心G至少有三條直線可以平分△ABC的面積．故結論③錯誤；
結論④正確．理由如下：
如答圖3所示，AD為△ABC的中線，點M、N分別在邊AB、AC上，MN∥BC，且

AM

AB

=

2

2

，MN與AD交于點Q．

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，
∴

S△AMN

S△ABC

=(

AM

AB

)2=(

2

2

)2=

1

2

，即MN平分△ABC的面積．
又∵AD為中線，
∴過點Q的兩條直線AD、MN將△ABC的面積四等分．
故結論④正確．
綜上所述，正確的結論是：①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查命題真假的判斷，難度很大．解題關鍵是正確理解題干各命題中的“至少”、“至多”、“存在”等字眼．需要注意的是，對于結論①②，我們只需要判定其存在性的真假即可，不需要嚴格作出幾何圖形來驗證（結論①②的幾何作圖超出了新課標的范圍，僅供學有余力的同學研究）．