Question

（2013•南平）在矩形ABCD中，點E在BC邊上，過E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點，連接BF、FG、GB．設

AB

BC

=k．
（1）證明：△BGF是等腰三角形；
（2）當k為何值時，△BGF是等邊三角形？
（3）我們知道：在一個三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等．事實上，在一個三角形中，較大的邊所對的角也較大；反之也成立．
利用上述結論，探究：當△BGF分別為銳角、直角、鈍角三角形時，k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以得出BG=FG，從而得出結論；
（2）當△BGF為等邊三角形時由等邊三角形的性質可以得出∠BAC=30°，根據銳角三角函數值就可以求出k的值；
（3）根據（1）（2）的結論課得出△BGF是等腰三角形和∠BAC=

1

2

∠BGF，根據∠BGF的大小分三種情況討論就可以求出結論．

解答：解：（1）證明：∵EF⊥AC于點F，
∴∠AFE=90°
∵在Rt△AEF中，G為斜邊AE的中點，
∴GF=

1

2

AE，
在Rt△ABE中，同理可得BG=

1

2

AE，
∴GF=GB，
∴△BGF為等腰三角形；

（2）當△BGF為等邊三角形時，∠BGF=60°
∵GF=GB=AG，
∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
∴∠BGF=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴

AB

BC

=tan∠ACB=

3

，
∴當k=

3

時，△BGF為等邊三角形；

（3）由（1）得△BGF為等腰三角形，由（2）得∠BAC=

1

2

∠BGF，
∴當△BGF為銳角三角形時，∠BGF＜90°，
∴∠BAC＜45°，
∴AB＞BC，
∴k=

AB

BC

＞1；
當△BGF為直角三角形時，∠BGF=90°，
∴∠BAC=45°
∴AB=BC，
∴k=

AB

BC

=1；
當△BGF為鈍角三角形時，∠BGF＞90°，
∴∠BAC＞45°
∴AB＜BC，
∴k=

AB

BC

＜1；
∴0＜k＜1．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的運用，等腰三角形的判定定理的運用，外角與內角的關系的運用，分類討論思想在實際問題的運用，解答時靈活運用直角三角形的性質及外角與內角的關系是關鍵．