Question

（2009•梅州一模）如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O為圓心，OA長為半徑的⊙0與BC相切于點M，與AB、AD分別相交于點E、F．
（1）求證：CD與⊙0相切；
（2）若⊙0的半徑為

2

，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析：（1）連接OM，過點O作ON⊥CD，垂足為N，根據正方形性質推出∠ACB=∠ACD，根據角平分線性質推出OM=ON即可；
（2）設正方形ABCD的邊長為a，證△COM∽△CAB得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）證明：連接OM，過點O作ON⊥CD，垂足為N，
∵⊙0與BC相切于M，
∴OM⊥BC，
∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，
又∵ON⊥CD，OM⊥BC
∴OM=ON
∴CD與⊙O相切．

（2）解：設正方形ABCD的邊長為a，
∵∠OCM=∠ACB，∠OMC=∠B=90°，
∴△COM∽△CAB，
∴

OM

AB

=

CO

CA

，
∴

2

a

=

2 a- 2

2 a

解得a=

2

+1，
∴正方形ABCD的邊為

2

+1．

點評：本題考查了正方形性質、角平分線性質、切線的判定、相似三角形的性質和判定等知識點的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題型較好，難度適中．