Question

（2002•麗水）已知二次函數y=a（x+m）²+k（a≠0）的圖象經過原點，當x=1時，函數y的最小值為-1．
（1）求這個二次函數的解析式，并在所給的平面直角坐標系中畫出函數圖象的草圖；
（2）若這個二次函數圖象與x軸的交點為A、B，頂點為C，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可知：拋物線的頂點坐標為（1，-1）；因此m=-1，k=-1．然后將原點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式．
（2）先根據拋物線的解析式求出A、B的坐標，已知了頂點C的坐標，根據三點的坐標進行判斷即可．
解答：解：（1）由題意可知m=-1，k=-1，將原點坐標代入后可得：
0=a（0-1）²-1，a=1；
因此拋物線的解析式為y=（x-1）²-1．

（2）由（1）的拋物線可知：
當y=0時，0=（x-1）²-1，解得x=0，x=2；
因此A、B的坐標分別為（0，0），（2，0）．
已知了C點的坐標為（1，-1）．
過C作CD⊥x軸于D，
在直角三角形ADC中，AD=DC，∠ADC=90°，
因此△ADC是等腰直角三角形．
∠CAD=∠ACD=45°；
同理可得∠DBC=∠BCD=45°，
因此△ABC為等腰直角三角形．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、等腰直角三角形的判定等知識點，根據已知條件求出拋物線的解析式是解題的關鍵．