Question

實數x、y、z滿足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，則z的最大值是

 

．

Answer 1

分析：把x，y看成是一元二次方程的兩個實數根，根據根與系數的關系列出一元二次方程，然后由判別式得到z的取值范圍，求出z的最大值．

解答：解：∵x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z²-5z+3，
∴x、y是關于t的一元二次方程t²-（5-z）t+z²-5z+3=0的兩實根．
∵△=（5-z）²-4（z²-5z+3）≥0，即3z²-10z-13≤0，
（3z-13）（z+1）≤0．
∴-1≤z≤

13

3

，
當x=y=

1

3

時，z=

13

3

．
故z的最大值為

13

3

．
故答案為：

13

3

．

點評：本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，根據根與系數的關系列出一元二次方程，然后由判別式求出z的取值范圍，確定z的最大值．