Question

（2010•閔行區二模）如圖，已知拋物線y=-x²+2x+1-m與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，其中點C的坐標是（0，3），頂點為點D，連接CD，拋物線的對稱軸與x軸相交于點E．
（1）求m的值；
（2）求∠CDE的度數；
（3）在拋物線對稱軸的右側部分上是否存在一點P，使得△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線的解析式中只有一個未知數m，因此只需將C點的坐標代入拋物線中即可求出m的值．
（2）此題可首先表示出拋物線的頂點式，就可以求出D點的坐標，然后過C點作DE的垂線CF，在△DCF中根據C、D、F三點的坐標求出DF和CF長度相等，得出∠CDE的度數；
（3）利用二次函數的對稱性可求出，以及利用線段垂直平分線的性質求出P的坐標．
解答：（1）∵拋物線過點C（0，3）
∴1-m=3
∴m=-2

（2）由（1）可知該拋物線的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴此拋物線的對稱軸x=1
拋物線的頂點D（1，4）
過點C作CF⊥DE，則CF∥OE
∴F（1，3）
所以CF=1，DF=4-3=1
∴CF=DF
又∵CF⊥DE
∴∠DFC=90°
∴∠CDE=45°

（3）存在．
①延長CF交拋物線于點P₁，則CP₁∥X軸，所以P₁正好是C點關于DE的對稱點時，
有DC=DP₁，得出P₁點坐標（2，3）；
由y=-x²+2x+3得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1．
②若以CD為底邊，則PD=PC，
設P點坐標為（x，y），根據兩點間距離公式，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，
即y=4-x．
又P點（x，y）在拋物線上，
∴4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得：x=，＜1，應舍去；
∴x=，
∴y=4-x=
則P₂點坐標（，）．
∴符合條件的點P坐標為（，）和（2，3）．
點評：此題主要考查了二次函數的對稱性，以及等腰三角形的判定方法和垂直平分線的性質等知識，題目綜合性較強，是中考中熱點題型．