Question

6．已知△ABC中，分別以AB，AC為邊在△ABC外側作△ABD和△ACE，使AB=AD，AC=AE，且∠BAD=∠EAC，BE，CD交于點P．
（1）如圖1，求證：CD=BE；
（2）如圖2，∠BAD=60°，設AB，PD交于點F，若∠PAF=30°，PF=1，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）由SAS證明△ACD≌△AEB，得出對應邊相等即可；
（2）在PD上截取PM=PA，連接AM，同（1）得：△ACD≌△AEB，得出∠ADC=∠ABE，得出A、D、B、P四點共圓，由圓周角定理得出∠APD=∠ABD，證出△ABD是等邊三角形，得出∠ABD=60°，即可知∠APD=60°，結合∠PAF=30°得∠AFP=∠AFD=90°，再由AF=APtan∠APF=$\sqrt{3}$可得DF=AFtan∠DAF=3．

解答 解：（1）∵∠BAD=∠EAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ACD和△AEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE；

（2）在PD上截取PM=PA，連接AM，如圖所示：

由（1）得：△ACD≌△AEB，
∴∠ADC=∠ABE，
∴A、D、B、P四點共圓，
∴∠APD=∠ABD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠APD=60°，
∵∠PAF=30°，
∴∠AFP=∠AFD=90°，
在Rt△APF中，AF=APtan∠APF=$\sqrt{3}$，
在Rt△ADF中，DF=AFtan∠DAF=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、四點共圓、圓周角定理等知識，證明三角形全等是解決問題的關鍵．