設x1，x2是關于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的兩實根，當a為何值時，x12+x22有最小值？最小值是多少？
【答案】
分析：設x
1，x
2是關于x的一元二次方程x
2+2ax+a
2+4a-2=0的兩實根，首先：△=（2a）
2-4（a
2+4a-2）≥0可求得a≤
，得到了關于a的取值范圍．對要求值的式子化簡：x
12+x
22=（x
1+x
2）
2-2x
1x
2=2（a-2）
2-4，設y=2（a-2）
2-4，這是一個關于a的一元二次方程，其對稱軸是a=2，開口方向向上．根據開口向上的二次函數的性質：距對稱軸越近，其函數值越小．故在a≤
的范圍內，當
時，x
12+x
22的值最小；此時
，即最小值為
．
解答：解：∵△=（2a）
2-4（a
2+4a-2）≥0，∴
又∵x
1+x
2=-2a，x
1x
2=a
2+4a-2．
∴x
12+x
22=（x
1+x
2）
2-2x
1x
2=2（a-2）
2-4．
設y=2（a-2）
2-4，根據二次函數的性質．
∵
∴當
時，x
12+x
22的值最小．
此時
，即最小值為
．
點評：本題考查一元二次方程ax
2+bx+c=0（a≠0）的根與系數關系，兩根之和是
，兩根之積是
．還考查了用二次函數性質解決二次三項式的最小值問題可以轉化為利用二次函數解決．
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