Question

已知：拋物線y=x²-bx與x軸正半軸相交于點A，點B（m，-3）為拋物線上一點，△OAB的面積等于6．
（1）求該拋物線的表達式和點B的坐標；
（2）設C點為該拋物線的頂點，⊙C的半徑長為2．以該拋物線對稱軸上一點P為圓心，線段PO的長為半徑作⊙P，如果⊙P與⊙C相切，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線y=x²-bx與x軸正半軸相交，得出A的坐標，求出OA的值，再根據△OAB的面積等于6，B（m，-3），得出b的值，即可求出拋物線的表達式，再根據點B（m，-3）在拋物線上，從而求出m的值，求出B點的坐標；
（2）把拋物線y=x²-4x進行整理，得出頂點坐標和對稱軸，再設出P點的坐標，得出PO的值，再分兩種情況討論，當⊙P與⊙C外切和果⊙P與⊙C內切時，分別求出PC的值，得出n的值，即可求出點P的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=x²-bx與x軸正半軸相交于點A，
∴y=0時，得x₁=0，x₂=b，
∴A（b，0），且b＞0，
∴OA=b，
∵△OAB的面積等于6，B（m，-3），
得S_△OAB=3•b=6，
解得：b=4．
∴A（4，0），拋物線的表達式為y=x²-4x，
∵點B（m，-3）在拋物線y=x²-4x上，
∴m²-4m=-3．
解得：m₁=1，m₂=3．
∴點B的坐標為（1，-3）或（3，-3）．

（2）∵y=x²-4x=（x-2）²-4，
∴拋物線的頂點為C（2，-4），對稱軸為直線x=2，
設P（2，n）．即得PO=，
當⊙P與⊙C相切時，有外切或內切兩種情況，并且n＞-4．
①如果⊙P與⊙C外切，那么  PC=PO+2．
即得 n+4=+2，
解得  n=0，
∴P（2，0）．
②如果⊙P與⊙C內切，那么  PC=PO-2．
即得 n+4=-2，
解得 n=-，
∴P（2，）．
∴所求點P的坐標為（2，0）、（2，）．
點評：此題考查了二次函數的綜合，用到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果，不要漏掉．