Question

如圖，在OABC中，點A在x軸上，∠AOC=60^o，OC=4cm．OA=8cm．動點P從點O出發，以1cm／s的速度沿線段OA→AB運動；動點Q同時從點O出發，以acm／s的速度沿線段OC→CB運動，其中一點先到達終點B時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t秒．
(1)填空：點C的坐標是(______，______)，對角線OB的長度是_______cm；
(2)當a=1時，設△OPQ的面積為S，求S與t的函數關系式，并直接寫出當t為何值時，S的值最大?   
(3)當點P在OA邊上，點Q在CB邊上時，線段PQ與對角線OB交于點M.若以O、M、P為頂點的三角形與△OAB相似，求a與t的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

（1）C(2，2)，OB=4cm（2），當t=8時，S最大（3）a=1+ (0<t≤8)或a=1－ (6≤t≤8)

解：（1）C(2，2)，OB=4cm。
（2）①當0<t≤4時，
過點Q作QD⊥x軸于點D(如圖1)，

則QD=t。
∴S=OP·QD=t²。
②當4<t≤8時，
作QE⊥x軸于點E(如圖2)，

則QE=2。
∴S =DP·QE=t。
③當8<t<12時，
延長QP交x軸于點F，過點P作PH⊥AF于點H(如圖3)。

易證△PBQ與△PAF均為等邊三角形，
∴OF=OA+AP=t，AP=t－8。∴PH= (t－8)。
∴=t·2－t· (t－8)
=－t²+3t。 
綜上所述， 。
∵①②中S隨t的增加而增加，
③中，S隨t的增加而減小，
∴當t=8時，S最大。   
（3）①當△OPM∽△OAB時(如圖4)，

則PQ∥AB。
∴CQ=OP。
∴at－4=t，即a=1+。 t的取值范圍是0<t≤8。   
②當△OPM∽△OBA時(如圖5)，

則， 即。∴OM=。
又∵QB∥OP，∴△BQM～△OPM。
∴，即。
整理得t－at=2，即a=1－，t的取值范圍是6≤t≤8。   
綜上所述：a=1+ (0<t≤8)或a=1－ (6≤t≤8)。
（1）如圖，過點C、B分別作x的垂線于點M、N， 

則在Rt△COM中，由∠AOC=60^o，OC=4，應用銳角三角函數定義，可求得OM=2，CM=2，
∴ C(2，2)。
由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，
ON=10，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB=4。
（2）分0<t≤4，4<t≤8和8<t<12分別討論，得到函數關系式后根據一次函數和二次函數的性質求出S最大時t的值。
（3）分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA兩種情況討論即可。