Question

如圖，在一塊如圖所示的三角形余料上裁剪下一個正方形，如果△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，AC=4，BC=3，正方形的四個頂點D、E、F、G分別在三角形的三條邊上．求正方形的邊長．

Answer 1

分析：作輔助線：作CH⊥AB于H，由四邊形DEFG為正方形，可得CM⊥GF與求得AB、CH的值，還可證得△ABC∽△GFC，由相似三角形對應高的比等于相似比，即可求得正方形的邊長．

解答：解：作CH⊥AB于H，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴CM⊥GF，
由勾股定理可得：AB=5，
根據三角形的面積不變性可求得CH=

12

5

，
設GD=x，
∵GF∥AB，
∴∠CGF=∠A，∠CFG=∠B，
∴△ABC∽△GFC，
∴

CM

CH

=

GF

AB

，
即　

12 5 -x

12 5

=

x

5

，
整理得：12-5x=

12

5

x，
解得：x=

60

37

，
答：正方形的邊長為

60

37

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質與直角三角形、正方形的性質．注意相似三角形對應高的比等于相似比定理的應用與數形結合思想與方程思想的應用．