Question

鐵匠王老五要制作一個圓錐體模型，操作規則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側面時，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設計了如圖所示的方案一，發現這種方案不可行，于是他們調整了扇形和圓的半徑，設計了如圖所示的方案二．（兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）請你幫助他算一算可以嗎？
（1）請說明方案一不可行的理由；
（2）判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不可行，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據扇形的弧長等于圓的底面周長，可得能圍成圓錐的正方形的對角線長，與實際正方形的對角線長比較，大于實際的正方形邊長，所以不可行；
（2）設出圓錐的母線長和底面半徑，讓扇形的弧長等于圓的底面周長，以及正方形的對角線長聯立構成方程組，即可求得圓錐的母線長及其底面圓半徑．

解答：解：連接AC，E為兩圓的切點，
（1）理由如下：
∵扇形的弧長=16×

π

2

=8π，圓錐底面周長=2πr，
∴圓的半徑O₁E=4cm．
過O₁作O₁F⊥CD，
∴△CO₁F為等腰直角三角形，
∴O₁C=

2

O₁F=

2

O₁E=4

2

cm，
又∵AE=AB=16cm，
而制作這樣的圓錐實際需要正方形紙片的對角線長為AE+EO₁+O₁C=16+4+4

2

=20+4

2

cm，
∵20+4

2

＞16

2

，
∴方案一不可行；

（2）方案二可行．求解過程如下：
設圓錐底面圓的半徑為rcm，圓錐的母線長為Rcm，
∵在一塊邊長為16cm的正方形紙片上，
∴正方形對角線長為16

2

cm，
則(1+

2

)r+R=16

2

，①
2πr=

2πR

4

．②
由①②，可得R=

64 2

5+ 2

=

320 2 -128

23

，r=

16 2

5+ 2

=

80 2 -32

23

．
故所求圓錐的母線長為

320 2 -128

23

cm，底面圓的半徑為

80 2 -32

23

cm．

點評：本題從閱讀（學習）能力、探究能力、邏輯推理能力等方面對學生進行了全面的考查．