Question

如圖，⊙M與y軸的正半軸相切于點(diǎn)C，與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₂＞x₁＞0，拋物線y=

1

2

（x²-5x+2m）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求m的值；
（2）求sin∠AMB的值；
（3）在圖中的曲線上是否存在點(diǎn)P，使以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△COA相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，在直角三角形AMD中用勾股定理計(jì)算求出m的值．
（2）利用（1）中求出的m的值，得到點(diǎn)A，B，M的坐標(biāo)，求出線段AB，MD，AM的長(zhǎng)，然后在△ABM中，用面積法求出sin∠AMB的值．
（3）分別過A，C兩點(diǎn)作AC的垂線，與拋物線交于點(diǎn)P₁和點(diǎn)P₂，因?yàn)椤鰽OC中，OA=1，OC=2，所以當(dāng)△PAC中，滿足兩直角邊的比是1：2時(shí)，點(diǎn)P就存在，否則，就不存在．

解答：解：（1）如圖：過點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，
當(dāng)x=0時(shí)，y=m，∴C（0，m）
當(dāng)y=0時(shí)，有

1

2

x²-

5

2

x+m=0
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=2m，
AD=

1

2

AB=

1

2

（x₂-x₁）=

1

2

(x2+x1)2-4x1x2

=

1

2

25-8m

．
∵⊙M與y軸相切于點(diǎn)C，
∵AB=0B-OA=x₂-x₁，
∴OD=AD+OA=

1

2

AB+OA=

x 2-x 1

2

+x₁=

1

2

（x₁+x₂），
∴CM=AM=OD=

1

2

（x₁+x₂）=

5

2

．
DM=OC=m，
在直角三角形AMD中，
AM²=AD²+MD²，
即：

25

4

=

25-8m

4

+m²，
解得：m₁=0，m₂=2．
∵m＞0，
∴m=2．

（2）∵m=2，
∴y=

1

2

x²-

5

2

x+2
∴C（0，2）
當(dāng)y=0時(shí)，

1

2

x²-

5

2

x+2=0
解得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，AD=

3

2

，AM=

5

2

，MD=2
∵S_△ABM=

1

2

AB•MD=

1

2

AM•BM•sin∠AMB，
∴

1

2

×3×2=

1

2

×

5

2

×

5

2

×sin∠AMB，
∴sin∠AMB=

24

25

．

（3）如圖：
分別過點(diǎn)A，C作AC的垂線交拋物線于P₁和P₂，
∵A（1，0），C（0，2），AC=

5

∴AC：y=-2x+2
AP₁：y=

1

2

x-

1

2

，
AP₂：y=

1

2

x+2，
由

y= 1 2 x- 1 2 y= 1 2 x2- 5 2 x+2

得：p₁（5，2），AP₁=2

5

，
∵

AC

AP1

=

5

2 5

=

1

2

=

OA

OC

，
∴△P₁AC∽△COA．
由

y= 1 2 x+2 y= 1 2 x2- 5 2 x+2

得：P₂（6，5），CP₂=3

5

，
∵

AC

CP2

=

5

3 5

=

1

3

≠

1

2

，
∴△P₂AC與△AOC不相似．
因此，存在點(diǎn)P（5，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用勾股定理求出m的值．（2）用面積法求出角的正弦值．（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．