Question

已知拋物線y=x²-（m+3）x+

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（m+1）．
（1）小明發現無論m為何值時，拋物線總與x軸相交，你知道為什么嗎？請給予說明．
（2）如圖，拋物線與x軸的正半軸交于M，N兩點，且線段MN的長度為2，求此拋物線的解析式．
（3）如圖，（2）中的拋物線與y軸交于點A，過點A的直線y=x+b與拋物線的另一個交點為點B，與拋物線的對稱軸交于點D，點C為拋物線的頂點．問在線段AB上是否存在一點P，過點P作x軸的垂線交拋物線于點E，使四邊形DCEP為平行四邊形？若存在，請求出該平行四邊形的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）運用判別式進行判斷即可；
（2）設M（x₁，0），則N（x₂，0），由根與系數關系得x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=

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（m+1），再由|x₁-x₂|=2，兩邊平方，將兩根關系代入求m的值；
（3）存在．根據拋物線解析式求A點坐標及頂點C的坐標，確定直線y=x+b的解析式，再求D點坐標，得到CD的長，設過P點的直線為x=n，分別代入直線、拋物線解析式，可求P、E兩點的縱坐標，表示線段PE的長，根據PE=CD，列方程求n的值，再求平行四邊形的面積．

解答：解：（1）∵y=x²-（m+3）x+

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（m+1）的判別式為
△=[-（m+3）]²-4×

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（m+1）=m²+3＞0，
∴無論m為何值時，拋物線總與x軸相交；

（2）設M（x₁，0），則N（x₂，0），
∵x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=

3

2

（m+1），|x₁-x₂|=2，
∴兩邊平方，得（x₁-x₂）²=4，
即（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4，
將兩根關系代入，得（m+3）²-4×

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（m+1）=4，
解得m=±1，
當m=-1時，x₁•x₂=

3

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（m+1）=0，不符合題意，舍去，
∴m=1，y=x²-4x+3；

（3）存在．
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴A（0，3），C（2，-1），
∴直線AB：y=x+3，D（2，5），
則CD=5-（-1）=6，
設過P點的直線為x=n，
則P（n，n+3），E（n，n²-4n+3），
∴PE=（n+3）-（n²-4n+3）=-n²+5n，
當四邊形DCEP為平行四邊形時，PE=CD，
即-n²+5n=6，解得n=2或3，當n=2時，PE與CD重合，舍去，
當n=3時，?CDPE的面積=（-n²+5n）×（3-2）=6．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據拋物線與x軸的交點橫坐標和根與系數的關系，列方程求待定系數m的值．