Question

在等腰△ABC中，CD是底邊AB上的高，E是腰BC的中點，AE與CD交于F，現給出三條路線：
（a）A→F→C→E→B→D→A；
（b）A→C→E→B→D→F→A；
（c）A→D→B→E→F→C→A；
它們的長度分別記為L（a）、L（b）及L（c），則L（a）＜L（b），L（a）＜L（c），L（b）＜L（c）中一定能成立的是

 

．

Answer 1

分析：根據題意可以得到F是△ABC的重心．從而得到CF=2DF，AF=2EF，AF=BF，利用L（a）=AF+FC+CB+BA、L（c）=AB+BE+EF+FC+CA得到L（c）-L（a）=（AB-BD）+（EF-FA）+（FC-DF）-CE=AD+DF-CE-EF，所以當△ABC為等邊三角形時，AD=CE，DF=EF，此時有L（a）-L（b）=FC+DA-AC-DF=DF+DA-AC由于當∠ACB較大時，AC與AD可以很接近，取CD足夠長可使L（a）＞L（b），結論得出．

解答：解：依題意，知F是△ABC的重心．

∴CF=2DF，AF=2EF，AF=BF，
∵L（a）=AF+FC+CB+BA
L（c）=AB+BE+EF+FC+CA
∴L（c）-L（a）=（AB-BD）+（EF-FA）+（FC-DF）-CE=AD+DF-CE-EF
當△ABC為等邊三角形時，AD=CE，DF=EF，此時有L（a）-L（b）=FC+DA-AC-DF=DF+DA-AC由于當∠ACB較大時，AC與AD可以很接近，取CD足夠長可使L（a）＞L（b），如取∠ACB=120°，AC=BC=1，則AD=

3

2

，CD=

1

2

DF=

1

6

∴L（a）-L（b）=

3

2

+

1

6

-1=

3 3 +1

6

-1＞0故L（a）＜L（b）不恒成立．
故答案為L（a）＜L（b）．

點評：本題考查了幾何不等式及三角形的重心的知識，在中學階段重心涉及較少，因此本題屬于一道難題．