Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結論中正確有_____（填序號）①△BPQ是等邊三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①根據△ABC是等邊三角形，得出∠ABC＝60°，根據△BQC≌△BPA，得出∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，求出∠PBQ＝60°，即可判斷①；

②根據勾股定理的逆定理即可判斷得出②；

③根據△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷；

④求出∠APC＝150°﹣∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷④．

解：①∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵△BQC≌△BPA，

∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，

∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴△BPQ是等邊三角形，

所以①正確；

②PQ＝PB＝4，

PQ2+QC2＝42+32＝25，

PC2＝52＝25，

∴PQ2+QC2＝PC2，

∴∠PQC＝90°，

∴△PCQ是直角三角形，

所以②正確；

③∵△BPQ是等邊三角形，

∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，

∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，

所以③正確；

④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，

∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，

∴∠QPC≠30°，

∴∠APC≠120°．

所以④錯誤．

所以正確的有①②③．

故答案為：①②③．