Question

如圖，在正三角形ABC中，D，E，F分別是BC，AC，AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于

 

．

Answer 1

分析：首先根據題意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可證得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，得到邊的關系，即可求得DF：AB=1：

3

，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得結果．

解答：解：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，
∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，

BD

BF

=

1

2

，
∴△DEF是正三角形，
∴BD：DF=1：

3

①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，
①÷②，

AB

DF

=

3

，
∴DF：AB=1：

3

，
∴△DEF的面積與△ABC的面積之比等于1：3．
故答案為：1：3．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質．此題難度不是很大，解題時要注意仔細識圖．