Question

為了豐富少年兒童的業余生活，某社區要在如圖所示AB所在的直線上建一圖書室E，并使圖書室E到本社區兩所學校C和D的距離相等（C、D所在位置如圖所示），CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=10km，CA=8km，DB=6km．
（1）請用尺規在圖中作出點E（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求圖書室E與點A的距離．

Answer 1

解：（1）
；
（2）連接CE、DE，
設AE=xkm，則BE=（10-x）km；
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE²=AE²+AC²=x²+8²；
同理可得：DE²=（10-x）²+6²；
若CE=DE，則x²+8²=（10-x）²+6²；
解得：x=3.6km；
答：圖書室E與點A的距離為3.6km．
分析：（1）作出CD的垂直平分線，使之交AB于點E即可；
（2）作BF∥CD交所作的垂直平分線于點G，交AC于點F，利用勾股定理可得BF的長度，利用∠ABF的余弦值可得BE的長度，讓10減去BE的長度可得AE的長度．
點評：考查線段垂直平分線的作圖和有關解直角三角形的計算；作輔助線構造出直角三角形及平行四邊形是解決本題的難點．