Question

7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，
求證：①△ADC≌△CEB．②DE=AD+BE；
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；
（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，得出∠CAD=∠BCE，再根據(jù)AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出CE=AD，CD=BE，進(jìn)而得到DE=CE+CD=AD+BE；
（2）先根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，進(jìn)而得出∠CAD=∠BCE，再根據(jù)AAS即可判定△ADC≌△CEB，進(jìn)而得到CE=AD，CD=BE，最后得出DE=CE-CD=AD-BE；
（3）運(yùn)用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系是：DE=BE-AD．

解答 解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；

（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時(shí)，AD，DE，BE所滿足的等量關(guān)系是：DE=BE-AD．
理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，同角的余角相等，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論．