Question

【題目】如圖：

（1）P是等腰三角形ABC底邊BC上的一個動點，過點P作BC的垂線，交AB于點Q，交CA的延長線于點R．請觀察AR與AQ，它們有何關系？并證明你的猜想．

（2）如果點P沿著底邊BC所在的直線，按由C向B的方向運動到CB的延長線上時，（1）中所得的結論還成立嗎？請你在圖（2）中完成圖形，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）AR=AQ；見解析；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）由已知條件，根據等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質不難推出∠PRC與∠AQR的關系；

（2）由已知條件，根據等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質不難推出∠BQP與∠PRC的關系．

解：（1）AR=AQ，理由如下：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵RP⊥BC，

∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，

∴∠BQP=∠PRC．

∵∠BQP=∠AQR，

∴∠PRC=∠AQR，

∴AR=AQ；

（2）猜想仍然成立．證明如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C．

∵∠ABC=∠PBQ，

∴∠PBQ=∠C，

∵RP⊥BC，

∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，

∴∠BQP=∠PRC，

∴AR=AQ．