Question

如圖，點P在雙曲線y=上，以P為圓心的⊙P與兩坐標軸都相切，E為y軸負半軸上的一點，PF⊥PE交x軸于點F，則OF-OE的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用P點在雙曲線y=上且以P為圓心的⊙P與兩坐標軸都相切求出P點，再利用向量的垂直時的性質列出OE與OF之間的關系即可．
作過切點的半徑，構造全等三角形，尋找與結論或條件中有關聯的等量線段，從而逐步探究未知結果．
解答：解：法一：設E（0．y），F（x，0）其中y＜0，x＞0
∵點P在雙曲線y=上，以P為圓心的⊙P與兩坐標軸都相切
∴P（，）
又∵PF⊥PE
∴由向量垂直性質可得×（-y）+×（-x）=0
∴x+y=2
又∵OE=|y|=-y，OF=x
∴OF-OE=x+y=2．
法二：設⊙P與x和y軸分別相切于點A和點B，連接PA、PB．則PA⊥x軸，PB⊥y軸．并設⊙P的半徑為R．

∴∠PAF=∠PBE=∠APB=90°，
∵PF⊥PE，
∴∠FPA=∠EPB=90°-∠APE，
又∵PA=PB，
∴△PAF≌△PBE（ASA），
∴AF=BE
∴OF-OE=（OA+AF）-（BE-OB）=2R，
∵點P的坐標為（R，R），
∴R=，
解得R=或-（舍去），
∴OF-OE=2．
故答案為：2．
點評：本題主要考查反比例函數及向量的綜合運用，同學們要熟練掌握．