Question

菱形ABCD邊長為4，∠BAD=60°，點E是AD上一動點（不與A、D重合），點F是CD上一動點，AE+CF=4，則△BEF面積的最小值為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據菱形ABCD邊長為4，∠BAD=60°求出菱形兩條對角線的長度及ABE的邊CF上的高、_^△BCF的邊AE上的高，_^△DEF，進而求出菱形的面積及△ABE、_{^{△BCF的面積}}，然后根據AE+CF=4和∠ADC=120°，求出△CFD的面積；由圖示可知：S_△BEF=S_菱形ABCD-S_△ABE^--S_△BCF-S_△DEF，代入數值根據二次函數的性質求出最值．
解答：解：∵菱形ABCD邊長為4，∠BAD=60°；
∴△ABD與△BCD為正三角形；
∴BD=4，AC=4，△ABE的邊AE上的高與_^△BCF的邊CF上的高都為2，∠ADC=120；
設AE為x，則CF為4-x；
∴S_△DEF=ED•DFsin120°=（4-x）[4-（4-x）]=-x²+x；
由圖示可知：S_△BEF=S_菱形ABCD-S_△ABE^--S_△BCF-S_△DEF
=×4×4-CF-AE-S_△DEF
=8-（CF+AE）-S_△DEF
=8-4S_△DEF
=x²-x+4；
根據二次函數的性質，△BEF面積的最小值====3．
故選B．
點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．此題結合面積和銳角三角函數知識解答，是一道好的綜合題．