Question

（2006•武漢）（北師大版）連接著漢口集家咀的江漢三橋（晴川橋），是一座下承式鋼管混凝土系桿拱橋．它猶如一道美麗的彩虹跨越漢江，是江城武漢的一道靚麗景觀．橋的拱肋ACB視為拋物線的一部分，橋面（視為水平的）與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，相鄰系桿之間的間距均為5米（不考慮系桿的粗細(xì)），拱肋的跨度AB為280米，距離拱肋的右端70米處的系桿EF的長(zhǎng)度為42米．以AB所在直線為x軸，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系．

（1）求拋物線的解析式；
（2）正中間系桿OC的長(zhǎng)度是多少米？是否存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先設(shè)拋物線的解析式，代入圖中的坐標(biāo)可解．
（2）假設(shè)存在一根系桿的長(zhǎng)度是OC的一半，長(zhǎng)度為28m，得出x的值與實(shí)際不符．故沒(méi)有．
解答：解：（1）結(jié)合圖象由題意：
y=-x²+56．

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=56
設(shè)存在一根系桿的長(zhǎng)度是OC的一半，即這根系桿的長(zhǎng)度是28米，
x=±70
相鄰系桿之間的間距均為5米，最中間系桿OC在y軸上，
∴每根系桿上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)．
∴x=±70與實(shí)際不符．
∴不存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半．
點(diǎn)評(píng)：（1）先求出B、E兩點(diǎn)坐標(biāo)．根據(jù)建立的平面直角坐標(biāo)系中的拋物線的形狀，可設(shè)關(guān)系式為y=ax²+c，然后將B、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式中可求出a、c的值．
（2）OC的長(zhǎng)恰好等于拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再判斷是否存在一根等于OC長(zhǎng)度一半的系桿．
命題立意：此題是用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．此題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用題，培養(yǎng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，這也正體現(xiàn)了新課標(biāo)的要求．