Question

《歌詞古體算題》記載了中國古代的一道在數(shù)學(xué)史上名揚中外的“勾股容圓”名題，其歌詞為：“十五為股八步勾，內(nèi)容圓徑怎生求？有人算得如斯妙，算學(xué)方為第一籌．”當中提出的數(shù)學(xué)問題是這樣的：今有股長15步，勾長8步的直角三角形，試求其內(nèi)切圓的直徑．正確的答案是（　　）

• A、3步
• B、4步
• C、5步
• D、6步

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意畫出圖，觀察發(fā)現(xiàn)直角三角形的內(nèi)切圓半徑，恰好是直角三角形內(nèi)三個三角形的高，因而可以通過面積S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC，這一面積相等，求得內(nèi)切圓的半徑．

解答：解：在Rt△ABC中，AB=15步，BC=8步，內(nèi)切圓半徑為r．
AC=

AB2+BC2

=

152+82

=17（勾股定理），
S△ABC=

1

2

AB•BC，
S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=

1

2

AB•r+

1

2

BC•r+

1

2

AC•r=

1

2

(AB+BC+AC)r，
∴

1

2

AB•BC=

1

2

(AB+BC+AC)r，
∴r=

AB•BC

AB+BC+AC

=

15•8

15+8+17

=3．
∴直徑為6．
故選D．

點評：本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是將求內(nèi)切圓半徑轉(zhuǎn)化為從不同角度求Rt△ABC的面積．