Question

（2003•溫州）如圖1，點A在⊙O外，射線AO交⊙O于F，C兩點，點H在⊙O上，=2，D是上的一個動點（不運動至F，H），BD是⊙O的直徑，連接AB，交⊙O于點C，CD交0F于點E．且AO=BD=2．
（1）設AC=x，AB=y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當AD與⊙O相切時（如圖2），求tanB的值；
（3）當DE=DO時（如圖3），求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）有了AO，BD的長，就能求出AF、AG的長，然后根據切割線定理即可得出x、y的函數關系式；
（2）AD與圓O相切，那么三角形ADB是直角三角形，因此∠B的正切值就應該是AD：BD，有BD的值，求AD就是解題的關鍵，有兩種求法：①根據AD是切線可根據AD²=AF•AG，求出AD的長，②根據AO、OD的長用勾股定理求出AD的長；
（3）可通過構建相似三角形來求解，過點D作DM⊥EO于M，那么根據DO=DE，我們不難得出EM=OM，我們可通過三角形AEC和DEM相似，得出DE•CE=AE•EM，又根據相交弦定理可得出DE•CE=FE•EG，將相等的線段進行置換，可得出AE•EM=FE•EG，可用EF表示出EG，EO，也就表示出了EM、OM，由此可在這個比例關系式中得出EF的值．
解答：解：（1）∵BD=2
∴OF=OG=1
又∵AO=2
∴AF=AO-OF=2-1=1，AG=AO+OG=2+1=3
由切割線定理的推論得AC•AB=AF•AG，
∴xy=1×3
∴y=，自變量x的取值范圍是1＜x＜；

（2）∵AD與⊙O相切，
∴∠ADB=90°
又∵AO=BD=2
∴OD=1
∴AD=
∴tanB=；

（3）過點D作DM⊥EO于M，
∵BD是直徑
∴∠BCD=90°
∴∠ECA=∠EMD=90°
又∵∠AEC=∠DEM
∴Rt△AEC∽Rt△DEM
∴
∴AE•ME=DE•CE
由相交弦定理，得EF•EG=DE•CE
∴AE•ME=EF•EG
設EF=t，則AE=AO-OF+EF=2-1+t=1+t
EG=FG-EF=2-t
又∵DE=DO
∴ME=OM
∴ME=EO=（OF-EF）=
∴（1+t）•=t•（2-t）
化簡，得t²-4t+1=0
∴t₁=2-，t₂=2+（不合題意，舍去）
即EF=2-．
點評：本題主要考查了切線的性質，相交弦定理，切割線定理以及相似三角形的判定和應用等知識點．本題中根據線段間的比例關系來求解是解題的基本思路．